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Inhalt


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Einführende Bemerkungen

(1) Motivation

Bem.: Die Beobachtung von Phänomenen und deren theoretischer Beschreibung mit Modellen der angewandten Mechanik führt zu mathematischen Gleichungen, die für konkrete Aufgabenstellungen gelöst werden müssen:

Bem.: Treten neben Ortsabhängigkeiten auch Zeitabhängigkeiten auf (z.B. Hauptgleichungen der Elastodynamik), dann müssen neben Randwerten auch Anfangswerte berücksichtigt werden. Daraus resultiert das sogenannte Anfangs-Randwertproblem.
(reine Anfangswertprobleme sind natürlich auch möglich: z.B. Einmassenschwinger)

Lamé-Navier sche Gleichungen:

Bem.: Herleitung vgl. TM II, 7.2 und HM 1A, 7.3

  • lokale Form des Impulssatzes

  • Stoffgesetz der linearen Elastizitätstheorie

  • Einsetzen liefert mit


  • Hauptgleichungen der Elastodynamik

  • Lamé-Navier sche Gleichungen (statischer Fall der Elastodynamik)

Bem.: O. g. Gleichungen stellen ein System gekoppelter partieller Differentialgleichungen dar für bzw. bzw. bei Darstellung in kartesichen Koordinaten für bzw. . Geschlossene analytische Lösungen sind nur in Einzelfällen möglich.

Konsequenz: Numerische Lösung mittels
  • Finite-Elemente-Methode (FEM)
  • Randelemente-Methode (BEM)
  • Methode der finiten Volumen
  • Finite-Differenzen-Methode (FDM)

Differentialgleichungen ebener Flächenträger:

hier: Hauptgleichungen ebener Flächenträger (Scheiben- und Plattenproblem)

Herleitung aus den Gleichgewichtsbedingungen der Kontinuumsmechanik unter Berücksichtigung von

  • Dicke d konstant und klein gegenüber Breite und Länge
    Schalentheorie (hier für ebende Flächenträger)
  • kleine Verschiebungen und Verschiebungsableitungen, linear elastisches Materialverhalten
    lineare (technische) Schalentheorie
  • Gültigkeit der Kirchhoff-Love -Hypothese, - und Senkrechtbleiben von Querschnitten
    Reduktion des Schalenraums auf die Schalenmittelfläche

Ergebnis: Hauptgleichungen der linearen Schalentheorie (hier für ebene Flächenträger)


Koeffizientengleichungen in die Richtungen und liefern

  • Differentialgleichungen des Scheibenproblems

  • Differentialgleichung des Plattenproblems

Bem.: Eine Entkoppelung der Hauptgleichungen in zwei Gleichungen in Richtung der Mittelfläche und eine Gleichung senkrecht zur Mittelfläche tritt nur bei ebenen Flächenträgern auf (vgl. Entkoppelung der allgemeinen Stabtheorie in das Stab- und Balkenproblem bei geraden Stäben).

Berechnungsbeispiele:

  1. Platte

    Material:

      Beton C25/30 nach EC 2 (etwa B25 nach DIN 1045)

    • Elastizitätsmodul:
    • Querkontraktion: (in Tafeln: )
    • Dichte:

    Hand-Rechnung nach der Kirchhoff schen Plattentheorie:

    • Czerny -Plattentafel (z. B. Betonkalender I/84, S. 370)
    • Starre Einspannung aller vier Ränder (Lastfall 6)

    mit

    Zahlenbeispiel:

    FEM-Rechnung
    (3-d linear elastisch mit ):

    Ansatz Elemente Elemente Durchbiegung [m]
    Linear 4x4 1 0,0035261
    (BRICK8) 16x16 1 0,0172010
      64x64 1 0,0235620
    Quadratisch 4x4 1 0,0231993
    (BRICK20) 8x8 1 0,0240474
      16x16 2 0,0241647

    Folgerungen:

    • Nachrechnung von vertafelten Lastfällen mit FEM zur Programm-Verifikation
    • Diskretisierung (Anzahl und Art der Elemente) bestimmt die Genauigkeit
    • FEM erlaubt Berechnung von nicht vertafelten Lastfällen

    Ergebnis der FEM-Rechnung mit 8x8 BRICK20-Elementen:


  2. Scheibe

    Anwendungsbeispiel: Hauswand mit Fensterloch


    Verlauf der Vertikalspannung entlang der gestrichelten Linie:


    Ergebnis mit adaptiver FEM-Rechnung (100-fach überhöht):







(2) Themengebiete der Numerischen Mechanik

  • Theorie: Mathematisch-mechanisches Modell
    • Kontinuierliche Modellbildung (Kontinuumsmechanik)
    • Stoffmodelle (Materialtheorie)
    • Hauptgleichungen bzw. Schwache Formulierungen (z. T. mit Nebenbedingungen, z.B. Plastizität)
  • Numerik: Computersimulation
    • diskrete Modellbildung (Diskretierung)
    • numerische Mathematik
    • Lösungsalgorithmen
  • Experiment: Reales Materialverhalten
    • Beobachtung mechanischer Phänomene
    • Meßtechnik und Informationsverarbeitung
    • Parameteridentifikation

Prinzipielle Fehlerquellen in der Numerischen Mechanik:

Bemerkungen:

  • Diskretierungsfehler im Vergleich mit analytischer (exakter) Lösung aufdeckbar (kann z. T. auch ohne Kenntnis der exakten Lösung angegeben werden
  • Modellfehler durch Experimente aufdeckbar
  • Identifikationsfehler durch Nachrechnen von Verifikationsexperimenten feststellbar


(3) Historisches

Bem.: Die Entwicklung von numerischen Methoden in der Mechanik, insbesondere die FEM, ist maßgebend von Bauingenieuren initiiert und vorangetrieben worden (Beginn ca. 1960).
Der Erfolg der Numerischen Mechanik ist stark geprägt durch die Hardware-Entwicklung:

Computersimulation im Wandel der Zeit:

Vorhersage des mechanischen Verhaltens komplexer Probleme

  • lineare Elastizitätstheorie
    1950: nur durch Test (z.B. Spannungsoptik)
    1970: ca. 50% Tests, ca. 50% Computersimulation
    1990: fast ausschließlich Computersimulation
  • Crash-Tests
    1970: ausschließlich Tests
    heute: überwiegend Computersimulation

Bem.: Heutige Forschungen konzentrieren sich stark auf nichtlineare (geometrisch und physikalisch) und auf gekoppelte Probleme (z.B. thermomechanische Kopplung, Festkörper-Fluid-Interaktion).


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